જો sum_{r=1}^{n}r^3 - sum_{p=1}^{n} sum_{m=1} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{r=1}^{n} r^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2$.હવે,ત્રિપલ સરવાળાને ધ્યાનમાં લો: $\sum_{p=1}^{n} \sum_{m=1}^{p} \sum_{r

Vedclass · Accepted Answer

$4$

Vedclass · Answer

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{r=1}^{n} r^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2$.હવે,ત્રિપલ સરવાળાને ધ્યાનમાં લો: $\sum_{p=1}^{n} \sum_{m=1}^{p} \sum_{r=1}^{m} 1 = \sum_{p=1}^{n} \sum_{m=1}^{p} m = \sum_{p=1}^{n} \frac{p(p+1)}{2} = \frac{1}{2} \left[ \sum_{p=1}^{n} p^2 + \sum_{p=1}^{n} p \right]$.પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $\sum_{p=1}^{n} p^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum_{p=1}^{n} p = \frac{n(n+1)}{2}$.તેથી,ત્રિપલ સરવાળો $\frac{1}{2} \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \right] = \frac{n(n+1)}{4} \left[ \frac{2n+1}{3} + 1 \right] = \frac{n(n+1)}{4} \left[ \frac{2n+4}{3} \right] = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$ થાય.આમ,સમીકરણ આ મુજબ બને છે: $\left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 - \frac{n(n+1)(n+2)}{6} = 80$.જો $n=4$ લઈએ: $\left[ \frac{4(5)}{2} \right]^2 - \frac{4(5)(6)}{6} = 10^2 - 20 = 100 - 20 = 80$.તેથી,$n=4$ એ સાચી કિંમત છે.

જો $\sum_{r=1}^{n}r^3 - \sum_{p=1}^{n} \sum_{m=1}^{p} \sum_{r=1}^{m} 1 = 80$ હોય,તો $n$ ની શક્ય કિંમત કઈ છે?

Similar Questions

$1$ અને $64$ ની વચ્ચેના બે ભૌમિતિક મધ્યકો કયા છે?

બે સમાંતર શ્રેણીઓના $n$ પદોનો સરવાળો $(2n + 3) : (6n + 5)$ ના ગુણોત્તરમાં છે,તો તેમના $13$ માં પદોનો ગુણોત્તર શોધો.

જો $a_1, a_2, a_3, .... a_{21}$ એ $A.P.$ (સમાંતર શ્રેણી) માં હોય અને $a_3 + a_5 + a_{11} + a_{17} + a_{19} = 10$ હોય,તો $\sum_{r=1}^{21} a_r$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $p, q, r$ એ $A.P.$ માં હોય અને ધન હોય,તો દ્વિઘાત સમીકરણ $px^2 + qx + r = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક હોય તે માટેની શરત શું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module